Chapitre 8 : Différence-de-différences

.title[
# Chapitre 8 : Différence-de-différences
]
.subtitle[
## Économétrie (ECON0212)
]
.author[
### Malka Guillot
]
.date[
### HEC Liège
]

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# Recap - Chapitre 5

## Wooclap

<div style="text-align: center;">
  <a href="https://app.wooclap.com/FIGJZG">lien de participation</a>
</div>

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# Recap - Chapitre 7

## Wooclap

<div style="text-align: center;">
  <a href="https://app.wooclap.com/MUXQBU">lien de participation</a>
</div>

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# Récapitulatif des semaines dernières

* Application des outils d'__inférence statistique__ à l'analyse de régression

* *Erreur standard* des coefficients de régression
    
    * *Significativité statistique* des coefficients de régression

- Présentation d'un cadre d'analyse pour l'__inférence causale__

- Modèle des ***réalisations potentielles***
    
    - ***Problème fondamental*** de l'inférence causale

- *Solutions* : méthodes d'évaluations
        - permettent l'identification de l'effet du traitement (sous certaines conditions)

__Aujourd'hui :__ ***Différence-de-différences***

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## Aujourd'hui : ***Différences-de-différences***

* Exploite les changements de politique au fil du temps qui ne touchent pas tout le monde

* Nécessité de trouver (ou de construire) un ou plusieurs groupes de contrôle appropriés

* *Hypothèse clé :* tendances parallèles

* *Application empirique* : impact du ***salaire minimum*** sur ***l'emploi***

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# Méthodes d'évaluation

* La régression multiple ne fournit souvent pas d'estimations causales en raison de la ***sélection sur les non-observables***.

* Les RCT (*Randomized Control Trials*) sont une solution à ce problème, mais elles sont souvent impossibles à réaliser.

* Quatre principales méthodes d'évaluation causale utilisées en économie :

- ***Variables instrumentales (IV)***,
  - ***Appariement sur score de propension***,
  - ***Différences-en-différences (DiD)***, et
  - ***Modèles de discontinuité de régression (RDD)***.

* Ces méthodes sont utilisées pour identifier des __relations causales__ entre les traitements et les réalisations

➡️ *Cette année* : une méthode d'évaluation de programme populaire et rigoureuse, __la différence-de-différences__.

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# [RAPPEL] Réalisations potentielles & effet du traitement

Group | `$Y_i^1$` | `$Y_i^0$`
--------|:---------:|:---------:
Groupe de traitement `$(D_i = 1)$` &nbsp; &nbsp; | &nbsp; &nbsp; Observé en tant que `$Y_i$` &nbsp; &nbsp; | Contrefactuel
Groupe de contrôle `$(D_i = 0)$` | Contrefactuel | &nbsp; &nbsp; Observé en tant que `$Y_i$` &nbsp; &nbsp;

* ***Effet individuel du traitement*** `$\delta_i$` :

$$ \delta_i = Y_i^1 - Y_i^0$$

* `$\delta_i$` mesure l'**effet causal du traitement** sur la variable expliquée `$Y$` pour l'individu `$i$`.

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# [RAPPEL] Effet moyen du traitement 
### Effet moyen du traitement sur la population (__ATE__) :

`$$E(\delta) = E(Y^1) - E(Y^0)$$`

### Effet moyen du traitement pour les individus traités (__ATT__) ?

$$
`\begin{align}
E(\delta|D = 1) &= E(Y^1 - Y^0|D = 1)) = E(Y^1|D = 1) - \color{#d90502}{ E(Y^0|D = 1)}
\end{align}`
$$
### Biais de sélection

La simple différence des réalisation (SDR) est soumise à un biais de sélection :

`$$\mathop{\mathbb{E}}(Y_i^1|D_i=1) - \mathop{\mathbb{E}}(Y_i^0|D_i=0)   = ATE + \underbrace{\mathop{\mathbb{E}}(Y_i^0 | D_i = 1) - \mathop{\mathbb{E}}(Y_i^0 | D_i = 0)}_\text{Biais de sélection}$$`

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# Différences-de-Différences (DiD)

### *Problème* (habituel) : biais de sélection
Les individus ne sont pas **répartis aléatoirement** dans le traitement ➡️ **biais de sélection** 
- <span style="font-size:90%;">⚠️ La différence naïve des réalisations entre les groupes traités et non traités est biaisée.</span>

### *Solution* : construction d'un contrefactuel
On utilise le groupe non traité pour construire un __contrefactuel__ pour le groupe traité.

### *Ingrédients* :  2 périodes temporelles `$\times$` 2 groupes
* ***Groupe de contrôle :*** ne reçoit jamais le traitement,
* ***Groupe de traitement :*** initialement non traité, puis entièrement traité.

### *Hypothèse* : Les deux groupes évoluent en parallèle en l'absence du traitement

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# Exemple : Salaire Minimum et Emploi

* *Imaginez* que vous souhaitez évaluer l'impact __causal__ de l'augmentation du salaire minimum sur le (chômage) emploi.

- Pourquoi cela n'est-il pas si simple ? 
    - Quel devrait être le groupe de contrôle ?

### Article de référence de 1994 [ici](http://davidcard.berkeley.edu/papers/njmin-aer.pdf) par les économistes du travail David Card et Alan Krueger, 
- *"Minimum Wages and Employment: A Case Study of the Fast-Food Industry in New Jersey and Pennsylvania"*

* Estime l'effet d'une augmentation du salaire minimum sur le taux d'emploi dans l'industrie de la restauration rapide. 
    - Pourquoi cette industrie ?

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# Détails Institutionnels

* Aux États-Unis, il existe un salaire minimum national, mais les États peuvent s'en écarter.

* 1er avril 1992 : le salaire minimum du New Jersey passe de `$4,25$`  à `$5,05$` par heure.

* L'État voisin de la Pennsylvanie n'a pas modifié son niveau de salaire minimum.

.pull-left[
<img src="../img/photos/nj_penn_map.png" width="600px" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right[
La Pennsylvanie et le New Jersey sont **très similaires** : institutions similaires, habitudes similaires, consommateurs similaires, revenus similaires, météo similaire, etc
]

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# Card et Krueger (1994) : Méthodologie

* Enquête menée auprès de 410 établissements de restauration rapide dans le New Jersey (NJ) et l'est de la Pennsylvanie.

* Chronologie :

--
  - Enquête avant l'augmentation du SM au NJ : fév./mars 1992

--
  - Enquête après l'augmentation du SM au NJ : nov./déc. 1992

* Quelles comparaisons pensez-vous qu'ils ont effectuées ?

<table class="huxtable" data-quarto-disable-processing="true" style="border-collapse: collapse; border: 0px; margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; ; margin-left: auto; margin-right: auto;  ">
<col><col><col><col><col><col><tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0.4pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: bold;">sheet</th><th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: bold;">chain</th><th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: bold;">state</th><th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: bold;">observation</th><th style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: bold;">empft</th><th style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0.4pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: bold;">emppt</th></tr>
<tr>
<td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0.4pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">46</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">bk</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">Pennsylvania</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">February 1992</td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">30  </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0.4pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">15  </td></tr>
<tr>
<td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0.4pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">49</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">kfc</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Pennsylvania</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">February 1992</td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">6.5</td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0.4pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">6.5</td></tr>
<tr>
<td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0.4pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">506</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">kfc</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">Pennsylvania</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">February 1992</td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">3  </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0.4pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; background-color: rgb(242, 242, 242); font-weight: normal;">7  </td></tr>
<tr>
<td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0.4pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">56</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">wendys</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Pennsylvania</td><td style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">February 1992</td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">20  </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0.4pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">20  </td></tr>
</table>

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# Exercice 1 (10 minutes)

1. Ouvrir et regarder les données. Convertir les variables au format numérique quand nécessaire.

1. Combien y a-t-il de magasins par `state` et par période (vague d'enquête) (`observation`). Retrouvezvous la *Table 1* du [papier](http://davidcard.berkeley.edu/papers/njmin-aer.pdf)?

1. Créer une variable *full-time equivalent (FTE) employees*, `empfte` égale ç  `empft` + 0.5*`emppt` + `nmgrs`. `empft` et `emppt` correspondent respectivement au nombre d'employés à temps plein et à temps partiel. `nmgrs` correspond au nombre de managers. C'est ainsi que Card et Krueger calculent leur variable d'emploi équivalent temps plein (FTE) (p.775 du papier).

3. Calculer le nombre moyen d'employés FTE, le pourcentage moyen d'employés à temps plein (sur le nombre d'employés FTE), et le salaire moyen de départ (`wage_st`) par état et par vague d'enquête. Comparez vos résultats avec *Table 2* du papier.

5. Quelles sont les différences de salaire moyen entre les deux états avant l'augmentation du salaire minimum au NJ ?

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# Card and Krueger DiD : Tableau de résultat

.center[__Emploi moyen par restaurant avant et après l'augmentation du salaire minimum au NJ
__]
<table class="table table-striped" style="color: black; width: auto !important; margin-left: auto; margin-right: auto;">
 <thead>
  <tr>
   <th style="text-align:left;"> Variables </th>
   <th style="text-align:left;"> Pennsylvania </th>
   <th style="text-align:left;"> New Jersey </th>
  </tr>
 </thead>
<tbody>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Emploi en ETP - Avant </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     text-align: c;">23.33</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     text-align: c;">20.44</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Emploi en ETP - Après </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     text-align: c;">21.17</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style="     text-align: c;">21.03</span> </td>
  </tr>
  <tr>
   <td style="text-align:left;"> Changement moyen en emploi ETP </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style=" font-weight: bold;    color: white !important;border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: rgba(253, 231, 37, 255) !important;text-align: c;">-2.17</span> </td>
   <td style="text-align:left;"> <span style=" font-weight: bold;    color: white !important;border-radius: 4px; padding-right: 4px; padding-left: 4px; background-color: rgba(68, 1, 84, 255) !important;text-align: center;">0.59</span> </td>
  </tr>
</tbody>
</table>
<span style="font-size:80%;">ETP= équivalent temps plein</span>

### Estimation de la DiD

Estimation causale par différences-en-différences : `$0.59 - (-2.17) = 2.76$`

### *Interprétation*
L'augmentation du salaire minimum a entraîné une __augmentation__ de 2,76 employés ETP par restaurant en moyenne.

C'est le concept central de la méthode de différences-de-différences 😀

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# Graphiquement

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# Graphiquement

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# Graphiquement

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# Graphiquement [Hypothèse de tendances parallèles]

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# Graphiquement

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# Graphiquement

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## Et si on avait fait une comparaison naive avant / après ?

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## Et si on avait fait une comparaison naive avant / après ?

*Problème*: on ne controle pas de la tendance temporelle

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## Et si on avait fait une comparaison naive NJ vs. PA en 2e période ?

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## Et si on avait fait une comparaison naive NJ vs. PA en 2e période ?

*Problème*: on ne controle pas de la sélection dans le traitement

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# Estimation

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# DiD sous forme de régression

* En pratique, DiD est généralement estimé sur plus de 2 périodes (4 observations)
* Il y a plus de points de données avant et après le changement de politique

### 3 ingrédients :

1. **Variable binaire de traitement** : `$TREAT_s$` où l'indice `$s$` nous rappelle que le traitement est au niveau de l'état (_state_)

2. **Variables binaires des périodes post-traitement** : `$POST_t$` où l'indice `$t$` nous rappelle que cette variable varie dans le temps

3. **Terme d'interaction entre les deux** : `$TREAT_s \times POST_t$` 👉 le ***coefficient de ce terme est l'effet causal de la DiD*** !

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# DiD sous forme de régression

__Variable binaire de traitement__
$$
TREAT_s = \begin{cases}\begin{array}{lcl}
0 \quad \text{si } s = \text{Pennsylvania} \\\
1 \quad \text{si } s = \text{New Jersey}
\end{array}\end{cases}
$$

__Variable binaire pour la période post-traitement__
$$
POST_t = \begin{cases}\begin{array}{lcl}
0 \quad \text{si } t < \text{1er avril 1992} \\\
1 \quad \text{si } t \geq \text{1er avril 1992}
\end{array}\end{cases}
$$

__Quelles observations correspondent à `$TREAT_s \times POST_t = 1$` ?__

* Regroupons tous ces ingrédients :
`$$EMP_{st} = \alpha + \beta TREAT_s + \gamma POST_t + \delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$$`

* `$\delta$`: effet causal de l'augmentation du salaire minimum sur l'emploi

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# Comprendre la régression

`$$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$$`

On a :

`$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha$`

`$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma$`

`$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta$`

`$\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 1) = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta$`

`$$[\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 1)-\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 1, POST_t = 0)] - \\
[\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 1)-\mathbb{E}(EMP_{st} \; | \; TREAT_s = 0, POST_t = 0)] = \color{#d90502}\delta$$`

---

# Comprendre la régression

`$$EMP_{st} = \color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta TREAT_s + \color{#02AB0D}\gamma POST_t + \color{#d90502}\delta(TREAT_s \times POST_t) + \varepsilon_{st}$$`

Sous forme de tableau :

| Pre mean | Post mean | `$\Delta$`(post - pre)
:-:|:--:|:--:|:--:
Pennsylvania (PA) | `$\color{#d96502}\alpha$` | `$\color{#d96502}\alpha + \color{#02AB0D}\gamma$` | `$\color{#02AB0D}\gamma$`
New Jersey (NJ) | `$\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta$` | `$\color{#d96502}\alpha + \color{#027D83}\beta + \color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta$` | `$\color{#02AB0D}\gamma + \color{#d90502}\delta$`
`$\Delta$`(NJ - PA) | `$\color{#027D83}\beta$` | `$\color{#027D83}\beta + \color{#d90502}\delta$` | `$\color{#d90502}\delta$`

Cette table se généralise à d'autres contextes en remplaçant *Pennsylvanie* par *Contrôle* et *New Jersey* par *Traitement*.

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# Exercice 2 (10 minutes)

1. Créer une variable binaire, `treat`, égale à 0 si `state` est la Pennsylvanie et 1 si le New Jersey.

2. Créer une variable binaire, `post`, égale à 0 si `observation` est février 1992 et 1 sinon.

3. Estimer le modèle de régression suivant :

`$$empfte_{st} = \alpha + \beta treat_s + \gamma post_t + \delta(treat_s \times post_t) + \varepsilon_{st}$$`
Obtenez vous les mêmes résultats qu'au slide 9 ?

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# Hypothèses d'identification

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# Hypothèse cruciale du DiD : Tendances parallèles

> __Hypothèse des tendances communes ou parallèles__ : en l'absence d'une augmentation du salaire minimum, la tendance de l'emploi dans la restauration rapide en Pennsylvanie aurait été ce que nous aurions dû observer dans le New Jersey.

* Cette hypothèse stipule que la tendance de l'emploi dans la restauration rapide en Pennsylvanie entre février et novembre 1992 fournit une tendance de l'emploi contrefactuelle fiable que l'industrie de la restauration rapide du New Jersey *aurait connue* si le New Jersey n'avait pas augmenté son salaire minimum.

* Il est impossible de valider ou d'invalider complètement cette hypothèse.

* *Vérification intuitive* : comparez les tendances avant le changement de politique (et après le changement de politique s'il n'y a pas d'effets attendus à moyen terme)

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#  Tendances parallèles : graphiquement

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# Vérifier l'hypothèse des tendances parallèles

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# Vérifier l'hypothèse des tendances parallèles

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# Hypothèse des tendances parallèles `$\rightarrow$` Vérifiée ✅

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# Hypothèse des tendances parallèles `$\rightarrow$` Vérifiée ✅

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# Hypothèse des tendances parallèles `$\rightarrow$` Non vérifiée ❌

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# Hypothèse des tendances parallèles `$\rightarrow$` Non vérifiée ❌

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# Hypothèse des tendances parallèles : 
## [Card et Krueger (2000)](https://inequality.stanford.edu/sites/default/files/media/_media/pdf/Reference%20Media/Card%20and%20Krueger_2000_Policy.pdf)

Voici les tendances observées pour la Pennsylvanie et le New Jersey

* L'hypothèse des tendances communes est-elle vérifiée ?

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# Hypothèse des tendances parallèles : formellement

Réalisations potentielles (une seule des deux est observable) :

* `$Y_{ist}^\color{red}1$` : l'emploi dans la restauration rapide au restaurant `$i$` dans l'état `$s$` au temps `$t$` s'il y a un salaire minimum **élevé** dans l'état ;

* `$Y_{ist}^\color{red}0$` : l'emploi dans la restauration rapide au restaurant `$i$` dans l'état `$s$` au temps `$t$` s'il y a un salaire minimum **faible** dans l'état ;

L'hypothèse clé sous-jacente à l'estimation DiD est que, dans l'état sans traitement, le résultat du restaurant `$i$` dans l'état `$s$` au temps `$t$` est donné par :

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}^0|s,t] = \gamma_s + \beta_t$$`

2 hypothèses implicites :

1. ***Biais de sélection*** : lié aux caractéristiques fixes de l'état `$(\gamma)$`

2. ***Tendance temporelle*** : même tendance temporelle pour le groupe de traitement et le groupe de contrôle `$(\beta)$`

---

# Hypothèse des tendances parallèles : formellement

Réalisations dans le groupe de comparaison :

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pennsylvania},t = \text{Feb}] = \gamma_{PA} + \beta_{Feb}$$`
--

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Pennsylvania},t = \text{Nov}] = \gamma_{PA} + \beta_{Nov}$$`

$$
`\begin{align}
\mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{Pennsylvania},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pennsylvania},t = \text{Feb}] \\
&= \gamma_{PA} + \lambda_{Nov} - (\gamma_{PA} + \lambda_{Feb}) \\
&= \lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}
\end{align}`
$$

---

# Hypothèse des tendances parallèles : formellement

Réalisations dans le groupe de comparaison :

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{Pennsylvania},t = \text{Feb}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Feb}$$`

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{Pennsylvania},t = \text{Nov}] = \gamma_{PA} + \lambda_{Nov}$$`

`$\rightarrow$` le groupe de comparaison permet d'estimer la ***tendance temporelle***.

---

# Hypothèse des tendances parallèles : formellement
Soit `$\delta$` l'impact de l'augmentation du salaire minimum :

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s,t] = \delta$$`

Réalisations dans le groupe de traitement :

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{New Jersey}, t = \text{Feb}] = \gamma_{NJ} + \lambda_{Feb}$$`
--

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{New Jersey}, t = \text{Nov}] = \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov}$$`
--

$$
`\begin{align}
\mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{New Jersey}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{New Jersey}, t = \text{Feb}] \\
&= \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov} - (\gamma_{NJ} + \lambda_{Feb}) \\
&= \delta + \lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}
\end{align}`
$$

---

# Hypothèse des tendances parallèles : formellement

Soit `$\delta$` l'impact de l'augmentation du salaire minimum :

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}^1 - Y_{ist}^0|s,t] = \delta$$`

Réalisations dans le groupe de traitement :

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{New Jersey}, t = \text{Feb}] = \gamma_{NJ} + \lambda_{Feb}$$`

`$$\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{New Jersey}, t = \text{Nov}] = \gamma_{NJ} + \delta + \lambda_{Nov}$$`

---

# Hypothèse des tendances parallèles : formellement

On a donc :

$$
`\begin{align}
\mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Feb}] = \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{time trend}}
\end{align}`
$$

$$
`\begin{align}
\mathbb{E}[Y_{ist}&|s = \text{NJ},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{NJ},t = \text{Feb}] = \delta + \underbrace{\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}}_{\text{time trend}}
\end{align}`
$$

$$
`\begin{align}
DD &= \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{NJ}, t = \text{Feb}] \\
& \qquad \qquad - \Big(\mathbb{E}[Y_{ist}|s = \text{PA},t = \text{Nov}] - \mathbb{E}[Y_{ist}| s = \text{PA},t = \text{Feb}]\Big) \\
&= \delta + \lambda_{Nov} - \lambda_{Feb} - (\lambda_{Nov} - \lambda_{Feb}) \\
&= \delta
\end{align}`
$$

---
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# À LA SEMAINE PROCHAINE !

<a href="mailto:mguillot@uliege.be"> mguillot@uliege.be</a>
                                                                               
# MERCI À
<a href="mailto:florian.oswald@sciencespo.fr"> Florian Oswald</a> et à toute l'équipe de ScPoEconometrics pour le [livre](https://scpoecon.github.io/ScPoEconometrics) et leurs [ressources](https://github.com/ScPoEcon/ScPoEconometrics-Slides)